Videnskabens største paradokser: Selvmodsigelser gør os klogere

Løgne gør computere mere menneskelige

Udtænkt: 400 f.Kr.

“Denne sætning er falsk” er en udgave af det såkaldte løgnerens paradoks, hvor udsagn danner en ubrydelig kæde af cirkulær reference, for hvis sætningen er falsk, er den jo sand, men hvis den er sand, er den jo falsk.

Paradokset stammer fra grækeren Eubulides, der stillede spørgsmålet: “En mand siger, han lyver, taler han sandt eller falsk?” Kæden af selvmodsigelser kan udvides, så den dannes af flere udsagn, fx: “Den næste sætning er sand. Den foregående sætning er falsk.”

Paradokset har ført til, at nogle logikere har forladt idéen om bivalent logik, altså at sætninger enten er sande eller falske. I stedet tillades alle værdier imellem de to endepunkter. En sætning kan fx være delvist sand, eller der kan være delvist sammenfald mellem to billeder. Tilgangen bruges fx i ansigtsgenkendelse.

Den kendteste ikke-bivalente logik er såkaldt fuzzylogik. Logikken indgår i programmeringen af neurale netværk og kunstig intelligens, fordi den simulerer beslutningsprocesser, der minder om menneskelig intuition.

Umulig trekant snyder din hjerne

Udtænkt: 1934

“Umulighed i sin reneste form” kaldte den britiske matematiker Roger Penrose figuren. Den umulige trekant blev tegnet første gang af den svenske kunstner Oscar Reutersvärd i 1934 og gjort populær af Penrose og den hollandske kunstner Escher. Figuren er en optisk illusion, der ligner en rumlig, tredimensionel trekant, når den tegnes i to dimensioner, men ikke kan eksistere i virkelighedens tre dimensioner.

Umiddelbart virker trekanten fornuftig, men det er umuligt at følge dens flader hele vejen rundt med øjnene; fx kan den nederste bjælke se ud til at være både foran og bag ved trekantens toppunkt.

Bevidsthedsforskerne har undersøgt hjernens evne til at se den umulige trekant som tredimensionel, selv efter at illusionen er brudt. Eksperimenterne understøtter en psykologisk teori om, at menneskets kognitive system er opdelt i delvist uafhængige moduler. Det visuelle modul fortsætter altså med at se trekanten som et objekt, selvom vores bevidsthed har afsløret bedraget.

Løberen indhenter aldrig skildpadden

Udtænkt: 400 f.Kr.

Sagnhelten Achilleus stiller op i et væddeløb med en skildpadde. Achilleus er sikker på sin sejr og giver skildpadden et stort forspring på fx 100 m.

Mens Achilleus indhenter de 100 meters forspring, når skildpadden fx yderligere 10 m frem. Mens Achilleus løber de 10 m, tilbagelægger skildpadden endnu 1 m. Mens Achilleus løber den ene meter, når skildpadden 10 cm længere osv.

Konsekvensen af tankeeksperimentet er, at Achilleus aldrig indhenter skildpadden, han kommer blot tættere og tættere på. Vores sunde fornuft overbeviser os dog om, at der er noget galt med regnestykket, og moderne matematik giver os ret.

I dag har matematikerne opløst paradokset gennem begrebet grænseværdi. I Zenons verden kunne halvdelen af vejen minus en fjerdedel minus en ottendedel osv. aldrig blive 0. Men i dag ved vi, at 0,0...1 – hvor prikkerne repræsenterer et uendeligt antal nuller – er præcis det samme som 0, fordi vi aldrig når til cifferet 1.

Uendelighed fås i flere størrelser

Udtænkt: 1873

I hverdagslivet gælder talemåden om, at helheden altid er større end dens bestanddele, men i matematikken forholder det sig helt anderledes. Paradokset bliver tydeligt, når man betragter tallene.

Tal, der kan repræsentere en afstand på en linje, kaldes reelle tal. Det er alle tal, der kan skrives som decimaltal med op til uendelig mange betydende cifre. 2 og 78,4297 og tallet pi (3,14...), der udtrykker forholdet mellem en cirkels omkreds og diameter, er alle reelle tal.

Matematisk kan det bevises, at der er utælleligt mange reelle tal alene mellem 0 og 1. Det vil sige flere, end der kan tælles med de naturlige tal – alle de positive heltal, fx 1, 2, 27 og 158 – som også i sig selv udgør en uendelig mængde. Den uendelige mængde af naturlige tal er en delmængde af den ligeledes uendelige mængde af reelle tal.

Med andre ord findes der flere slags uendelighed, og nogle uendeligheder er større end andre. Det beviste den tyske matematiker Georg Cantor med Cantors andet diagonaliseringsprincip, da han i 1880’erne lagde grunden til den moderne mængdelære.

Cantors forståelse af flere slags uendeligheder bygger på arbejde af den italienske matematiker og fysiker Galileo Galilei. Galilei indså, at selvom mængden af kvadrattal, dvs. 1, 4, 9, 16 osv., er en delmængde af de naturlige tal, må de to mængder være lige store. Hvert eneste naturlige tal kan nemlig parres med sit eget kvadrattal, altså 1 med 1, 2 med 4, 3 med 9 osv.

Universet illustrerer, at der også eksisterer flere slags uendelighed i den fysiske verden. Observationer tyder nemlig på, at det både allerede er uendeligt og udvider sig konstant.

Theseus’ skib delte sig i to

Udtænkt: 500 f.Kr.

I græsk mytologi sejler sagnkongen og helten Theseus hjem fra Kreta i et skib, som derefter ligger i Athens havn i århundreder. Skibet udsættes for vejr og vind og tidens tand, så efterhånden bliver hver eneste planke skiftet ud, indtil der til sidst intet er tilbage af det oprindelige skib. Men er det så stadig det samme skib? Eller er det et nyt skib? Og hvornår skete skiftet i så fald?

Historien blev diskuteret af bl.a. Heraklit, Platon og Plutarch og udtrykker et grundlæggende og uløseligt problem ved begrebet identitet over tid. Paradokset spiller også en rolle for vores syn på mennesket. Næsten ingen celler over­lever fra fødsel til død, så hvad gør os egentlig til de samme individer igennem hele livet? Og hvad, hvis vores bevidsthed en dag kan kopieres til en computer?

Den britiske filosof Thomas Hobbes komplicerede paradokset yderligere med historien om en sømand, der samler alle de udskiftede planker fra Theseus’ skib og til sidst kan genopbygge det. Hvilket af de to skibe er nu Theseus’ skib?

Årsagsløkke har ingen begyndelse

Udtænkt: 1781

Dit ældre jeg dukker pludselig op med udførlige tegninger til en tidsmaskine, så du kan bygge den og senere – når du selv er blevet dit ældre jeg – kan rejse tilbage til dit yngre jeg med de samme tegninger.

Historien beskriver en såkaldt lukket årsagsløkke uden begyndelsespunkt. Paradokset tilskrives Rudolf Erich Raspe, forfatteren til historierne om baron von Münch­hausen, der trak sig selv op ved håret og dermed både var årsag og virkning.

Årsagsløkker er populære i film og bøger om tidsrejser, men udgør også et forskningsfelt. I 2020 udgav forskere fra The University of Queens­land en artikel, der matematisk efterviser, at virkeligheden vil korrigere sig selv, så løkken ikke fører til et paradoks.

Forskerne forudser, at selvom en original årsag blev fjernet – fx den første patient, der blev smittet med covid-19 – ville senere hændelser søge mod den faktiske nutid. Det ville betyde, at en anden person i stedet blev den første smittede, men at historien derfra ville udvikle sig til at blive mere og mere lig den oprindelige.