Our website does not support Internet Explorer.

To get the best experience on our website and of our content, please use a more modern browser like Edge, Chrome, Safari or similar.

Uendelighed er slangen i fysikkens paradis

I årtusinder har tænkere kæmpet med ideen om uendelighed. Som en drilsk slange snor den sig ind overalt i matematikken, men hver gang den stikker hovedet frem i fysikken, opstår der uløselige paradokser. Først for hundrede år siden lærte matematikerne at regne med uendelige mængder, men ét centralt spørgsmål står tilbage: Findes uendeligheden kun i tallenes teoretiske verden, eller er den en del af virkeligheden?

Shutterstock

For 100 år siden gjorde et hjerteanfald en ende på et af verdenshistoriens største matematiske genier. Georg Cantor sagde farvel til livet den 6. januar 1918 alene i sit værelse på et psykiatrisk sanatorium i den tyske by Halle.

I skyggen af 1. verdenskrig tilbragte han her sin sidste tid i fattigdom, svækket af sult og dybt plaget af den depression, som havde forfulgt ham gennem flere årtier.

Om Georg Cantor så sig selv som en af verdenshistoriens største inden for sit felt, er tvivlsomt. Det meste af sin karriere var han tynget af den kritik og modstand, han oplevede fra andre matematikere, og som i lange perioder fik ham til at tvivle på sig selv.

Og for samtidens matematikere lød hans tanker vitterligt som det rene vanvid. Han hævdede bl.a., at der ikke bare findes én, men to slags uendelighed.

I dag er Cantors fagfæller imidlertid enige om, at hans bidrag til matematikken er uvurderligt, fordi han gav os en helt ny forståelse af begrebet uendelighed.

For at forstå Cantors bedrift skal vi ikke bare århundreder, men årtusinder og måske endnu længere tilbage i tiden.

Måske har tanken om uendeligheden fascineret og plaget mennesket, siden vores forfædre begyndte at se op mod himlen og fundere over, hvor langt der er til stjernerne, og hvad der ligger længere væk.

Tanken om uendelighed er svimlende, og det paradoksale er, at vi afskrækkes af den, samtidig med at vi slet ikke kan undvære den.

Forestillingen om, at universet er uendeligt, afføder automatisk reaktionen: “Det må da ende et sted”. Omvendt har vi svært ved at acceptere tanken om et endeligt univers, for “hvad er der så udenfor?”.

© DEA/A. DAGLI ORTI/Getty

"Naturen flyver fra det uendelige, for det er ufuldkomment, og naturen søger altid en slutning."

Aaristoteles (384-322 f.Kr.) afviste, at uendelighed findes i virkeligheden.

Paradokset er ikke blevet mindre med opfindelsen af naturvidenskabens grundværktøj, matematikken. Her dukker uendelighederne op masser af steder, men betyder det så også, at de er en del af fysikken?

De fleste fysikere vil nok svare nej.

Når de udvikler teorier, som skal beskrive virkeligheden, og de kan se, at deres ligninger indeholder uendeligheder, tager de det oftest som et tegn på, at der må være noget galt med teorien.

På den anden side har matematikken vist sig som et helt uundværligt værktøj til at beskrive naturen, så hvorfor skulle der være denne forskel på teori og virkelighed – på matematik og fysik?

Uendelighed er almindelig børnelærdom

Uendelighed hører ikke bare til kompliceret og avanceret matematik. Et barn skal ikke være ret gammelt, før det lærer at tælle, og derfra er der ikke langt til at spørge om, hvad det største tal i verden er.

Tusind, en million, en milliard – eller måske en billion, en billiard eller en trillion? Vi lærer hurtigt, at talrækken fortsætter, også forbi de største navngivne tal – fx en googol, som er et ettal efterfulgt af hundrede nuller, eller en googolplex, som er 10googol.

Intet tal er større end uendeligheden. I skolen løber vi ind i uendeligheder allerede i de små klasser, hvor vi møder brøker og decimaltal.

Den simple brøk 1/3 kan skrives som 0,333333 … og vi lærer at forstå, at tretallerne efter kommaet fortsætter i det uendelige. Samtidig får vi i vores første skolebøger i geometri at vide, at et linjestykke består af uendeligt mange punkter, som hver især har uendeligt lille udstrækning.

Lidt senere lærer vi endda også det særlige tegn for uendelig, nemlig det liggende ottetal, ∞, som formentlig symboliserer en slange, der bider sig selv i halen.

Når vi går ud af skolen, er uendeligheden i matematikkens verden et velkendt og accepteret fænomen for os alle.

Matematisk indsigt betød druknedøden

I antikkens Grækenland var de første møder med uendeligheden en langt mere drabelig affære.

En af matematikkens store fædre, Pythagoras, som levede fra 570 til 495 f.Kr., var noget af en multikunstner og arbejdede blandt andet med filosofi, matematik og musik og helst en blanding af det hele. Han grundlagde et broderskab, pythagoræerne, som bestod af hans elever og tilhængere.

I dag ved vi kun lidt om pythagoræerne, for det var et hemmelighedsfuldt broderskab, hvor medlemmerne havde tavshedspligt, men på nogle områder var de forud for deres tid.

For eksempel gik de ind for ligestilling, så kvinder var lige så velkomne i broderskabet som mænd. Til gengæld var frisindet begrænset, når der blev sat spørgsmålstegn ved de matematiske sandheder, som var gældende på den tid.

I hvert fald hvis vi skal tro fortællingen om en af Pythagoras’ elever, Hippasos.

På en rejse i båd over Middelhavet fortalte Hippasos sine venner i broderskabet om nogle tanker, han havde gjort sig, om det, vi i dag kalder Pythagoras’ læresætning: At der i en retvinklet trekant er den sammenhæng mellem siderne, at kvadratet på hypotenusen (dvs. dens længde ganget med sig selv) er lig med summen af kvadratet på hver af kateterne.

Hippasos havde regnet på den simple trekant, hvor kateternes længde er 1, og var kommet frem til, at længden af hypotenusen ikke kunne beskrives med et helt tal – og ikke engang med en brøk. Længden er derimod √2.

Hippasos underholdt sine rejsefæller med at føre matematisk bevis for, at der ikke fandtes noget helt tal eller nogen brøk, som ganget med sig selv blev 2.

Det skulle han ikke have gjort. De andre pythago­ræere blev så bestyrtede, at de prompte smed Hippasos over bord og overlod ham til druknedøden.

Pythagoræernes håndtering af problemet var naturligvis ikke holdbar på længere sigt, og i dag ved vi, at Hippasos havde ret. √2 er et såkaldt irrationalt tal.

Vi kan skrive det ud som decimaltal og får 1,414213562373095, hvis vi vælger at stoppe ved 15 decimaler. Men decimalerne fortsætter, og der er ikke noget mønster i dem, som der fx er med brøken 1/3, hvor vi kan forudsige, at decimalerne er tretaller i det uendelige.

Et andet irrationalt tal er π. Det kan heller ikke skrives helt præcist som en brøk, selvom 22/7 kommer ret tæt på. Med 15 decimaler er π = 3,141592653589793.

De irrationale tal, som Hippasos var på sporet af, skulle langt senere vise sig at være vigtige for vores dybere forståelse af det uendelige, men inden da ventede en lang række hovedbrud, som martrede generationer af matematikere og filosoffer.

Nogle af de bedste eksempler er de paradokser, der blev formuleret af Zenon fra Elea, som levede i 490-425 f.Kr. Zenon fortalte for eksempel historien om sagnhelten Achilleus, som skulle løbe om kap med en skildpadde.

Achilleus kunne løbe ti gange så hurtigt som skildpadden og gav derfor storsindet skildpadden et forspring, som vi kan sætte til 100 meter i moderne måleenheder.

Zenons pointe var nu, at Achilleus aldrig ville indhente skildpadden, for i det øjeblik vores helt nåede frem til det sted, hvor skildpadden var ved starten af løbet, var den jo kommet ti meter længere frem. Og når Achilleus nåede frem til dét sted, ville skildpadden være nået yderligere én meter frem og så fremdeles.

Afstanden mellem dem ville hele tiden blive mindre, men den ville aldrig blive nul.

© Science Photo Library

Uendelighed bliver til fysisk Nonsens

Gabriels horn blæser på fysikken
Den geometriske figur Gabriels horn har fået navn efter ærkeenglen Gabriel, som vil blæse i hornet ved dommedag. Figuren er et eksempel på, at matematiske sandheder mister deres
mening, når de overføres til fysikkens verden.

Opskriften er simpel
I et koordinatsystem tegnes først en kurve (gul) for formlen y = 1/x. Herefter drejes den del af kurven, hvor x er større end 1, rundt om x-aksen (med de grønne pile). Resultatet er en tredimensionel, hornformet figur (rød).

Arealet stikker af fra rumfanget
Gabriels horn bliver tyndere og tyndere, når x bliver større. Lader vi x gå mod uendelig, sker der noget mærkeligt med overfladen og rumfanget af figuren:

Arealet af overfladen (eller indersiden) af hornet fortsætter med at vokse og bliver uendeligt stort. Rumfanget af hornet blive ikke ved med at vokse, men nærmer sig tallet pi – og er altså endeligt.

For en fysiker er det nogle besynderlige egenskaber. Det betyder nemlig, at selv hvis vi fyldte Gabriels horn helt op med maling, ville der alligevel ikke være nok til at male hverken ydersiden eller indersiden af hornet.

Zenons paradokser blev taget op af filosoffen og videnskabsmanden Aristoteles, som levede fra 384 til 322 f.Kr. Han var meget optaget af begrebet uendelighed og behandler det blandt andet i sit værk “Fysikken”.

Aristoteles tilbageviser Zenons paradokser uden direkte at modbevise dem. I stedet sondrer han mellem det, han kalder “potentiel uendelighed” og “aktuel uendelighed”.

Sondringen afspejler Aristoteles’ egen baggrund. Som søn af en læge havde han et konkret og videnskabeligt syn på naturen, og som elev af filosoffen Platon havde han samtidig en abstrakt måde at anskue verden på.

Aristoteles mente populært sagt, at uendelighed eksisterer, men kun som en mulighed. Det er for eksempel principielt muligt at dele et linjestykke i uendeligt mange dele eller at blive ved med at tælle i det uendelige, men det er ikke praktisk muligt.

Den potentielle uendelighed er altså til stede, men den aktuelle uendelighed findes ikke. Som Aristoteles selv udtrykte det: “Naturen flyver fra det uendelige, for det uendelige er ufuldkomment, og naturen søger altid en slutning.”

Holder Zenons hypotese?

Et gammelt græsk paradoks handler om kapløbet mellem sagnhelten Achilleus og en skildpadde.

Renæssancens genier måtte give op

Næsten 2000 år senere blev Aristoteles’ sondring mellem matematisk teori og fysisk virkelighed udfordret af en af renæssancens store tænkere, Galileo Galilei.

I 1632 udgav Galilei en af sine vigtigste bøger, hvor han sammenlignede to verdenssyn – det geocentriske, som har Jorden i centrum af Solsystemet, og det heliocentriske, som har Solen i centrum.

Bogen er skrevet som en dialog mellem fortalere for den ene og den anden verdensopfattelse, men det fremgår tydeligt, at Galilei selv er tilhænger af den heliocentriske – noget, som senere giver ham store problemer i forhold til den katolske kirke.

Bogen handler dog ikke kun om Solsystemet. De to repræsentanter for hver sit verdensbillede diskuterer også matematiske uendeligheder.

Her afslører dialogen følgende tankerække hos Galilei, som funderer over sammenhængen mellem hele tal og deres kvadrater: Når vi ganger et helt tal med sig selv, får vi tallets kvadrat.

Tallet 1 har kvadratet 1, tallet 2 har kvadratet 4, tallet 3 har kvadratet 9, tallet 4 har kvadratet 16 osv. Vi ser hurtigt, at der findes masser af hele tal, som ikke er kvadrattal – fx er der alene i talrækken fra 1 til 10 tallene 2, 3, 5, 6, 7, 8 og 10, som ikke er det.

Nu er spørgsmålet: Findes der flere hele tal end kvadrattal? Intuitivt må svaret være ja, og konsekvensen må være, at uendeligheden af hele tal er større end uendeligheden af kvadrattal.

Men så argumenterer Galilei videre: Ethvert helt tal har jo sit helt eget kvadrattal, og derfor må der være lige mange hele tal og kvadrattal. Med dette argument er de to uendeligheder pludselig nøjagtigt lige store.

Så hvad er rigtigt?

Galilei opgiver at løse paradokset. I stedet konkluderer han, at når det drejer sig om uendeligheder, giver det ingen mening at bruge udtryk som “større end”, “lig med” eller “mindre end”.

Det har givetvis ærgret Galilei at give fortabt på denne måde, for han anså matematikken for at være universel. Den var i hans øjne ikke bare et menneskeskabt redskab til at beskrive verden, men iboende i naturen – eller som han selv udtrykte det:

“Naturens bog er skrevet i matematikkens sprog.”

Galileis egen bog blev erklæret kættersk af kirken allerede året efter udgivelsen på grund af hans forkærlighed for det heliocentriske verdensbillede. I to århundreder var den forbudt læsning for katolikker og blev først frigivet i 1835.

Før Galileis bog røg på den forbudte liste, er den dog garanteret blevet læst af hans elev og store beundrer, Evangelista Torricelli. Torricelli var både fysiker og matematiker, og som sin læremester rendte han også ind i et paradoks om uendeligheder.

Det skete, da han i 1644 regnede på en geometrisk figur, som senere er blevet kendt som Torricellis trompet, og som også går under navnet Gabriels horn. Det forunderlige ved figuren er, at man med ret enkel matematik kan regne ud, at dens overflade er uendeligt stor – og med lige så enkel matematik kan vise, at dens rumfang er endeligt.

Det virker intuitivt provokerende. Det betyder nemlig, at hvis vi forestiller os, at vi fylder figuren op med maling, vil der alligevel ikke være maling nok til at dække indersiden af den.

Altså igen et eksempel på, at matematikken kolliderer med praktisk fysisk tankegang. Matematikeren vil hævde, at malingen sagtens kan dække trompetens inderside, bare den er tynd nok, nemlig uendeligt tynd. Fysikeren vil sige, at sådan en maling findes ikke.

© Getty Images

"Naturens bog er skrevet i matematikkens sprog."

Galileo galilei (1564-1642) mente, at matematik er universel, og derfor må uendeligheder også findes i naturen.

Nogle uendeligheder er præcis lige store

For Galileis og Torricellis efterfølgere var der således masser af udfordringer at tage sig af. Galilei efterlod et problem, som skulle vente over 200 år på sin løsning – nemlig på den unge og talentfulde Georg Cantor.

I begyndelsen af 1870’erne, længe før han fik psykiske problemer, tog Cantor fat i Galileis paradoks om uendeligheden af hele tal og deres kvadrattal. Cantor var ikke tilfreds med Galileis konklusion om, at det ikke gav mening at sammenligne størrelsen på uendeligheder – og han agtede at gøre noget ved det.

Cantor brugte selv det eksempel, at ethvert tal i rækken 10, 20, 30, 40, 50 osv. kan parres med tallene 1, 2, 3, 4, 5 osv. Vi kan fx parre 10 med 1, 20 med 2 osv. Resultatet er, at vi får en række par “uden huller” imellem, eller sagt på en anden måde: Der er lige mange elementer i de to talrækker, som begge er uendelige.

Nøjagtig det samme gør sig gældende for kvadrattallene 1, 4, 9, 16, 25 osv. – eller for den sags skyld for de lige tal 2, 4, 6, 8, 10 osv. eller for de ulige 1, 3, 5, 7, 9 osv. Alle disse talrækker – eller talmængder – er lige store, simpelthen fordi vi kan danne par mellem dem og være sikre på, at vi ikke kommer til at springe nogen over.

I princippet er mængderne “tællelige”, selvom de naturligvis ikke er det i praksis, da det bogstaveligt talt ville tage en evighed. Det samme gælder for brøker og for negative tal og dermed for alle de tal, vi kalder rationale.

Hotellet har altid plads til en til

Historien om Hilberts Hotel viser, at såkaldte tællelige uendeligheder har samme størrelse. Hilberts Hotel har uendeligt mange værelser, og uanset hvor mange gange der ankommer et uendeligt antal rejsende, vil der altid være plads.

Irrationale tal giver større uendelighed

Cantors måde at tænke på var revolutionerende, for med hans metode kunne man lægge to uendeligheder sammen.

Et simpelt eksempel er den uendelige række af ulige tal og den uendelige række af lige tal. Lægger vi de to mængder sammen, får vi den uendelige række af naturlige tal. Alle tre mængder er åbenlyst tællelige, og vi kan derfor også sige, at ∞ + ∞ = ∞.

Her er det vigtigt at forstå, at vi ikke kan “regne videre” på det matematiske udsagn, på samme måde som vi er vant til at gøre det med ligninger.

Vi kan for eksempel ikke trække ∞ fra på begge sider af lighedstegnet, for så får vi jo, at ∞ = 0, hvilket åbenlyst er forkert.

Ved at bevise, at de tællelige uendeligheder er lige store, havde Cantor også bevist, at det i modsætning til Galileis påstand godt kan give mening at sammenligne størrelsen af uendeligheder. Og samtidig havde han faktisk grundlagt en helt ny gren af matematikken, vi i dag kender som mængdelære. Cantor stoppede dog ikke her.

Han var klar over, at hans måde at anskue de tællelige uendeligheder på kun omfattede de rationale tal. Men hvad så med de irrationale, dvs. tal som π eller det famøse √2, som Hippasos måtte lade livet for i antikkens Grækenland?

Irrationale tal kan ikke skrives som brøker, men kun som decimaltal, hvor decimalerne fortsætter i det uendelige.

Cantor beviste, at når man har en række af den slags uendelige decimaltal, er det altid muligt at konstruere flere, som i størrelse ligger inden for rækken. I ethvert interval af irrationale tal er der derfor uendeligt mange elementer.

"Frygten for uendelighed er en slags snæversyn, som ødelægger muligheden for at se det sande uendelige."

Georg cantor (1845-1918) opfandt mængdelæren og en ny måde at håndtere uendeligheder på.

Cantors bevis betyder, at når vi udvider vores mængde af tal til at omfatte de irrationale tal – og dermed indeholde alle reelle tal – så får vi en anden slags uendelighed end med de rationale tal.

Den er “utællelig” og derfor større – eller “mægtigere”, som Cantor ville sige.

Den “utællelige uendelighed” svarer på mange måder til den uendelighed, vi tænker på, når vi deler et linjestykke op uendeligt mange gange – eller når vi tænker på det stykke vej, som Achilleus i Zenons gamle paradoks skulle løbe for at nå frem til skildpadden.

Vejstykket blev mindre og mindre, men ifølge Zenon aldrig 0. Det var Cantor ikke enig i, og hans argument lød sådan: En uendelig decimalbrøk, som konvergerer mod – dvs. nærmer sig – et helt tal, fx 0, har samme egenskaber som tallet selv og er derfor lig med det.

Vi kan fx tænke på decimalbrøken 0,1 og blive ved med at dividere den med 10. Så får vi først 0,01, så 0,001, dernæst 0,0001 osv.

Forestiller vi os, at det sker uendeligt mange gange, har vi altså et tal, der kan skrives sådan: 0,00 … 1 – hvor de tre prikker repræsenterer uendeligt mange nuller.

Med andre ord vil vi aldrig nå til cifferet 1, og derfor er tallet reelt et stort rundt 0. Og derfor bliver afstanden mellem Achilleus og skildpadden også på et tidspunkt 0, så han både indhenter og overhaler den.

Det matematiske tegn for uendelighed, ∞, symboliserer formentlig en slange, der bider sig selv i halen.

Cantors banebrydende tanker og beviser faldt ikke i god jord hos alle hans kolleger. Den store franske matematiker Henri Poincaré var indædt modstander af Cantors arbejde og udtalte nærmest hånligt:

“Kommende generationer vil opfatte mængdelæren som en sygdom, de er kommet sig over.”

Ikke engang Cantors egen gamle lærer og mentor fra universitetet i Berlin, professor Leopold Kronecker, havde noget pænt at sige om Cantors resultater, tværtimod:

“Jeg ved ikke, hvad der dominerer Cantors teori – om det er filosofi eller teologi – men jeg er sikker på, at der ikke er noget matematik til stede.”

Som det fremgår, var Kronecker professionelt helt uenig med sin tidligere elev, men hans perfide ordvalg hentyder klart til en helt anden side af Cantor, nemlig hans tro.

Cantor var meget religiøs, og derfor var det også vigtigt for ham, at hans matematiske arbejde var i harmoni med hans gudsopfattelse. For Cantor var uendeligheder ikke bare potentielle muligheder, som Aristoteles havde argumenteret for.

De var lige så “virkelige” som alt andet i matematikken og dermed som alt andet i verden. Ligesom Galilei anså Cantor ikke matematikken som noget abstrakt og menneskeskabt, men som noget grundlæggende i naturen skabt af Gud. Og hvad Gud har skabt, har Han også magten til at virkeliggøre. Cantor udtrykte det på denne måde:

“Frygten for uendeligheden er en slags snæversyn, som ødelægger muligheden for at se det sande uendelige, selvom det i sin højeste form har skabt og opretholdt os, og i sine sekundære uendelige former optræder overalt omkring os og endda bor i vores sind.”

© Shutterstock

Findes der uendelige fuldkomne tal?

De ældste problemer inden for matematikkens verden knytter sig formentlig til de såkaldt perfekte tal. Et tal er perfekt, hvis summen af divisorer er lig med tallet selv, såfremt man ikke medregner tallet selv.

Eksempelvis er 28 perfekt, fordi tallet kan deles med 1, 2, 4, 7 og 14, som tilsammen giver 28. I numerisk rækkefølge er de første perfekte tal 6, 28, 496, 8128 og 33.550.336.

Pythagoræerne og senere Euklid var dybt fascineret af de perfekte tal og tumlede med mange problemer omkring dem. Hvilket der er det ældste, ved man ikke, men det kunne meget vel være problemet om, hvorvidt der findes uendelig mange perfekte tal eller ej.

Dette spørgsmål er endnu i dag ubesvaret. I december 2003 opdagede man det 40. perfekte tal – et tal, der indeholder mere end 12 millioner cifre.

Men det kan ikke udelukkes, at der stadig eksisterer mange perfekte tal. Det er heller ikke afklaret, om der findes ulige perfekte tal.

Men inden nogen giver sig til at lede, skal de vide, at matematikerne har opstillet nogle betingelser for eventuelle ulige perfekte tal: De har over 300 cifre og indeholder mindst 29 primfaktorer.

Matematikerne blev delt i to lejre

Striden mellem Kronecker og Cantor fortsatte de næste to årtier helt frem til Kroneckers død i 1891.

De repræsenterede hver deres matematiske grundsyn, som delte samtidens matematikere i to lejre. For Cantor var tal og matematik virkelighed, og det gjaldt vel at mærke alle tal, inklusive de irrationale.

For Kronecker var tal kun virkelige, når man kunne se deres fysiske eksistens, hvilket også betød, at han havde det rigtig godt med de naturlige tal, men meget skidt med de irrationale tal.

Den manglende anerkendelse fra sin gamle lærer gik Cantor voldsomt på og har måske været medvirkende til de depressioner, som plagede ham senere i livet.

Han fortsatte sit virke inden for matematikken, men i den sidste del af karrieren på universitetet i Halle skruede han gradvist ned for den og op for sine to andre interessefelter, filosofi og litteratur.

Efterhånden fik flere og flere dog øjnene op for kvaliteten i Cantors matematiske arbejde og opfindelsen af mængdelæren. En af Cantors allerstørste beundrere var landsmanden David Hilbert, som ikke tøvede med at kalde Cantors resultater for “det fineste produkt af matematisk genialitet og en af de ypperste bedrifter af ren intellektuel menneskelig aktivitet”.

Senere har Hilbert skabt en kendt visualisering af Cantors tællelige uendeligheder med det, som har fået navnet “Hilberts Hotel”.

Ideen er, at vi skal forestille os et hotel med uendeligt mange værelser, som har numrene 1, 2, 3, 4, 5 osv. Alle værelserne er enkeltværelser, og de er allesammen optaget. Sent på aftenen ankommer en ny gæst, og i stedet for at sende ham væk vælger receptionisten at løse problemet.

Han beder gæsten i værelse 1 om at flytte til værelse 2, gæsten på værelse 2 om at flytte til værelse 3, gæsten på værelse 3 om at flytte til værelse 4 osv.

På denne måde skaber han et ledigt værelse, nemlig værelse 1, som den nye gæst flytter ind i. Rent matematisk viser eksemplet, at ∞ + 1 = ∞.

Ingen får dog nogen nattero endnu, for kort efter ankommer en bus med uendeligt mange rejsende. Også dem får den snarrådige receptionist plads til.

Han vækker igen alle sine gæster og beder dem nu om at forlade værelserne og derefter flytte ind i det nærmeste ledige værelse med et lige nummer.

Først flytter gæsten fra værelse 1 til nr. 2, så flytter gæsten fra værelse 2 til nummer 4, gæsten fra værelse 3 flytter til nummer 6 osv. Herefter kan hele det nye rejseselskab flytte ind i alle de ulige numre, og problemet er løst.

De tålmodige gæster får imidlertid stadig ikke lukket et øje, for pludselig ankommer intet mindre end uendeligt mange busser, som allesammen har uendeligt mange rejsende med.

Her må receptionisten tænke sig lidt om, før han finder løsningen. Først beder han alle sine gæster om at forlade deres værelser og flytte til de ulige numre 1, 3, 5, 7, 9 osv.

De bor altså nu i de værelser, som matematisk kan skrives som 2n – 1, hvor n er værelsesnumrene. Det næste rejseselskab får værelserne, som kan skrives som 2(2n – 1).

Det tredje hold får værelserne med numre, som er det dobbelte af det foregående holds numre, dvs. 4(2n – 1). Sådan fortsætter receptionisten med at fordele de næste hold af uendelige gæster – i det uendelige. Der er plads nok.

Med sit eksempel anskueliggjorde David Hilbert en vigtig pointe i Cantors mængdelære, og han brugte det flittigt i sine forelæsninger. Hilberts Hotel viser nemlig både, at ∞ + ∞ = ∞, og at ∞ x ∞ = ∞.

Uendeligheder førte til matematisk paradis

For David Hilbert var opfindelsen af mængdelæren en matematisk genistreg, og som han sagde:

“Ingen kan udvise os fra paradiset, Cantor har skabt.”

Med “os” har Hilbert givetvis ment “os matematikere”, for selvom Cantors mængdelære gav en helt ny matematisk forståelse af uendeligheder, giver den intet svar på, om uendeligheder eksisterer i virkeligheden.

I den fysiske verden findes jo desværre hverken hoteller med uendeligt mange enkeltværelser eller for den sags skyld busser med uendeligt mange siddepladser.

Alligevel kan matematiske uendeligheder i nogle tilfælde vise sig at beskrive naturens verden overraskende præcist – og ovenikøbet på en visuelt overbevisende måde.

I sidste halvdel af 1900-tallet blev et nyt matematisk begreb kendt og populært langt uden for matematikernes rækker: fraktaler. Fraktaler er smukke, geometriske figurer baseret på simple matematiske ligninger.

Fraktaler har den egenskab, at de tilsyneladende gentager sig selv i det uendelige – forstået på den måde, at når man zoomer ind på en lille del af figuren, ser det overordnede mønster ud til at træde frem igen.

Et kendt eksempel blev beskrevet af den svenske matematiker Helge von Koch allerede i 1904. Det går under navnet von Kochs snefnug og går ud på at dele siderne på en ligesidet trekant på samme måde igen og igen. Resultatet bliver en figur med et omrids, som ligner en snekrystal.

Uendeligt småt findes ikke i naturen

Fraktaler efterligner naturens mindste detaljer

En simpel fraktal opstår, når vi deler siderne på en ligesidet trekant op efter denne opskrift:

  • © Shutterstock

    Fjern den midterste tredjedel af siden. Erstat den med en spids, der består af to linjer med samme længde som stykket, du fjernede.

  • © Shutterstock

    Gentag processen med alle trekantens sider. Resultatet bliver en sekstakket stjerne.

  • © Shutterstock

    Gør nu det samme med stjernens sider, og fortsæt på denne måde. Resultatet bliver en figur, der mere og mere ligner en snekrystal.

  • © Shutterstock

    Naturen sætter grænser

    Fraktaler kan zoome ind på stadig mindre detaljer i det uendelige, men naturen har en nedre grænse: Det mindste i naturen kan ikke måle
    mindre end den såkaldte plancklængde, som er 1,6 x 10-35 meter.

I 1967 tog den franske matematiker Benoît Mandelbrot tankegangen op igen i en artikel i det videnskabelige tidsskrift Science, hvor han stillede spørgsmålet:

“Hvor lang er Storbritanniens kystlinje?”.

Mandelbrots pointe var, at svaret afhænger af målestoksforholdet på det kort, du kigger på. Jo mindre målestokken er, jo flere små detaljer får du med, og jo længere bliver kystlinjen.

I 1982 udgav Mandelbrot bogen “The Fractal Geometry of Nature”, og de flotte mønstre og deres slående lighed med strukturer i naturen var samtidig årsagen til, at fraktaler, som egentlig var et temmelig nørdet matematisk emne, med ét blev et fænomen, alle havde hørt om.

Men selvom uendelighederne i fraktalerne kan sammenlignes med snekrystaller, kystlinjer eller strukturerne i alt fra trækroner og bregneblade til blomkål og sneglehuse, betyder det ikke, at fraktalerne er en direkte beskrivelse af dem.

I fraktalernes univers er der ikke nogen begrænsning på, hvor dybt vi kan zoome ind på strukturerne. Det er der i naturens verden. På et tidspunkt når vi ned i den atomare og subatomare skala, dvs. til fysikkens mindste byggesten og til de mindste enheder, som kan eksistere.

I kvantemekanikken går den nedre grænse for, hvor småt noget kan være, ved den såkaldte plancklængde, som er 1,6 x 10-35 meter. Her står virkeligheden med andre ord af, mens matematikken kan fortsætte – bogstaveligt talt i en uendelighed.

Det store univers kan rumme uendeligheder

Det eneste videnskabelige felt, hvor det traditionelt er “i orden” at tale om fysiske uendeligheder, er kosmologien.

I det store univers omkring os optræder så ekstreme fænomener, at vi hidtil kun har kunnet beskrive dem ved hjælp af uendeligheder. Et af dem er sorte huller. I centrum af et sort hul er tyngdekraften uendeligt stor, fordi en stor mængde stof er presset sammen i et uendeligt lille område af rummet.

Fænomenet, som også kaldes en singularitet, følger af Albert Einsteins generelle relativitetsteori fra 1915. Einstein tvivlede dog selv på, at singulariteter eksisterer i virkeligheden.

“Sorte huller er der, hvor Gud har divideret med nul,” citeres han ofte for at have sagt.

Det har han nu ikke, for begrebet sort hul blev først introduceret i 1960’erne, og Einstein døde i 1955. Men formuleringen indrammer meget præcist den aversion, Einstein havde – og andre fysikere stadig har – mod forestillingen om fysiske uendeligheder.

Et andet spørgsmål om fysisk uendelighed er naturligvis universets størrelse. Er det uendeligt stort, eller er der en grænse?

Fra midten af 1900-tallet frem til 1970’erne var mange fysikere og astronomer enige om, at universet var uendeligt stort og havde en uendelig lang historie.

Denne teori, som gik under navnet “steady state” og blev båret frem af den store britiske astronom Fred Hoyle, måtte dog gradvist vige for big bang-teorien.

I dag mener de fleste, at universet opstod fra en singularitet for 13,8 milliarder år siden og efterfølgende har udvidet sig til den størrelse, det har i dag.

Hvis big bang-teorien holder stik, har universet logisk set en endelig størrelse – medmindre det på et tidspunkt er vokset med uendelig hastighed. Vores observationer er begrænset af, at lys har en endelig hastighed, og der er derfor en grænse for, hvor langt vi kan se ud i universet.

Astronomerne taler om “det synlige univers” og har beregnet, at det strækker sig 46,6 milliarder lysår ud i alle retninger set fra Jorden. Hvad der måtte ligge længere væk, får vi aldrig noget at vide om, fordi universets udvidelse betyder, at lys fra så fjerne egne aldrig vil nå os.

Problemet med universets størrelse bliver ikke nemmere af, at vi ikke kender dets form. Igen er det Einstein, som har gjort os klogere og samtidig mere forvirrede. Over store afstande er vores almindelige tredimensionelle opfattelse af rummet ikke tilstrækkelig.

© claus lunau

Uendeligt stort er stadig en mulighed

Universets grænse ligger uden for vores horisont

Lyset bevæger sig gennem rummet med en endelig hastighed, og det sætter en grænse for, hvor langt vi kan se ud i universet.

På astronomisk skala skal der tilføjes en fjerde dimension, nemlig tiden. Universet har altså en firedimensionel form, som er svær at se for sig. Måske giver formen universet en uendelig udstrækning, eller måske betyder den, at universet, som Einstein selv foreslog, er endeligt, men uden grænser.

Det lyder som en selvmodsigelse, men tænk på overfladen af en kugle eller en donut. Den har et endeligt areal, men vi kan tegne en lige linje på den og fortsætte stregen uden nogensinde at møde en grænse.

Om det forholder sig sådan, ved vi endnu ikke. Måske stikker matematikken også her af fra fysikken. Måske findes uendeligheder simpelthen ikke, eller også er vi bare stadig ikke i stand til at forstå dem godt nok. Som Einstein selv sagde:

“To ting er uendelige, universet og menneskets dumhed – og så er jeg ikke engang sikker med universet.”

Læs også:

Sound barrier
Fysik fænomener

Sådan opstår lydmurens brag

2 minutter
Fysik fænomener

Derfor klæber forhænget til kroppen i badet

2 minutter
Fysik fænomener

Fysikerne pulveriserer atomet

12 minutter

Log ind

Ugyldig e-mailadresse
Adgangskode er påkrævet
Vis Skjul

Allerede abonnement? Har du allerede et abonnement på magasinet? Klik hér

Ny bruger? Få adgang nu!

Nulstil adgangskode

Indtast din email-adresse for at modtage en email med anvisninger til, hvordan du nulstiller din adgangskode.
Ugyldig e-mailadresse

Tjek din email

Vi har sendt en email til med instruktioner om, hvordan du nulstiller din adgangskode. Hvis du ikke modtager emailen, bør du tjekke dit spamfilter.

Angiv ny adgangskode.

Du skal nu angive din nye adgangskode. Adgangskoden skal være på minimum 6 tegn. Når du har oprettet din adgangskode, vil du blive bedt om at logge ind.

Adgangskode er påkrævet
Vis Skjul